La caja de polinomios y el método tradicional: dos alternativas didácticas para la enseñanza de la multiplicación y la división de polinomios

Multiplicación

Explicar: El proceso que se utilizó para trabajar esta operación consistió en discriminarla en tres casos:

1. Multiplicación de monomio por monomio:

   Se explicó que para multiplicar dos monomios se agotan los siguientes pasos en su orden:

   • Se aplica ley de signos.

   • Se multiplican coeficientes.

   • Se multiplican partes literales.

   Ejemplificar: Considere los monomios A = -2x ³ y ⁴ y B = -4xy ³ z. Determinar AB.

   AB = -2x ³ y ⁴ (-4xy ³ z) = +8x ⁴ y ⁷ z

   De donde:

   - El signo "+" se obtiene al aplicar la ley de signos entre el signo del monomio A y el signo del monomio B.

   - El coeficiente "8" se obtiene al multiplicar los coeficientes 2 y 4.

   - X ⁴ se obtiene al multiplicar x y x ³

   - y ⁷ se obtiene al multiplicar y ³ con y ⁴

   - El factor z pasa a formar parte del producto.

   Ejercitar: Se propusieron ejercicios donde el nivel de complejidad incrementaba, iniciando por multiplicación de enteros, pasando a multiplicación de monomios con una sola letra en su parte litera, hasta llegar a multiplicación de monomios con coeficientes fraccionarios y parte literal con varias letras y exponentes literales.

2. Monomio por polinomio:

   Explicar: Para multiplicar un monomio por un polinomio se procede a multiplicar el monomio por cada término del polinomio. Para ello, hay que aplicar varias veces la multiplicación de monomios.

   Ejemplificar: Sean A = 3a - 2b ² + 5 y B = -2ab ³ . Determinar AB.

   AB = -2ab ³ (3a-2b ² + 5) = -2ab ³ (3a) - 2ab ³ (-2b ² ) - 2ab ³ (+5)

   = -6a ² b ³ + 4ab ⁵ - 10ab ³

   Ejercitar: Se propusieron ejercicios donde el nivel de complejidad incrementaba, iniciando por multiplicación de números por polinomios de dos términos, hasta llegar a multiplicación de monomios con coeficientes fraccionarios y partes literales con exponentes literales y polinomios con términos de similares características.

3. Polinomio por polinomio:

   Explicación: Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de un polinomio por el otro polinomio, implica que se repite el caso anterior varias veces. Finalmente, se redicen términos semejantes si los hay.

   Ejemplificación: Hallar AB si A = 2a + 3b y B = -5a - b.

   AB = (2a + 3b)(-5a -b) = 2a(-5a - b) + 3b(-5a - b)

   = 2a(-5a) + 2a(-b) + 3b(-5a) + 3b(-b)

   = -10a ² - 2ab - 15ab - 3b ² = -10a ² - 17ab - 3b ²

División

Se trabajó esta operación en tres casos:

1. Monomio entre monomio:

Explicar: Se explicó que para dividir dos monomios se procede de la siguiente manera, en su orden:

- Se aplica ley de signos.

- Se dividen coeficientes.

- Se dividen partes literales.

Ejemplificar: Considere los monomios A = - 8x ³y⁴ y B = -4xy ³ . Determinar A/B

$\frac{\mathit{A}}{\mathit{B}}=\mathit{ }\frac{-8{\mathit{X}}^3{\mathit{Y}}^4}{-4\mathit{x}\mathit{y}}=\mathit{ }+2{\mathit{x}}^{2\mathit{ }}\mathit{y}$

De donde:

- El signo "+" se obtiene al aplicar la ley de signos.

- El coeficiente "2" se obtiene al dividir el coeficiente 8 entre el coeficiente 4.

- x ² se obtiene al dividir x ³ entre x.

- y se obtiene al dividir y ⁴ entre y ³.

Ejercitar: Se propusieron ejercicios donde el nivel de complejidad incrementaba, iniciando por división de enteros, pasando a división de monomios con una sola letra en su parte litera, hasta llegar a división de monomios con coeficientes fraccionarios y parte literal con varias letras y exponentes literales.

2. Polinomio entre monomio:

Explicar: Se explicó que, para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio, entre el monomio, aplicando el caso anterior.

Ejemplificar: Determinar P/M si P = 5x ⁴ - 6x ³ + 4x ² y M = -2x ²

$\frac{P}{M}=\frac{5x^4-6x^3-4x^2}{-2x^2}=\frac{5x^4}{-2x^2}+\frac{-6x^3}{-2x^2 }+ \frac{+4x^2}{-2x^2 }=- \frac{5}{2 } x^{2 }+3x-2$

Ejercitar: Se propusieron ejercicios a través de los cuales el nivel de complejidad incrementaba, iniciando por polinomios de dos términos entre número, hasta llegar a división de polinomios con coeficientes fraccionarios y partes literales con exponentes literales entre monomios con términos de similares características.

3. Polinomio entre polinomio:

Explicar: Para que la división se pueda llevar a cabo la condición inicial es que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual al grado del polinomio divisor. Si la condición se cumple, se realizan los siguientes pasos.

1. Se ordenan los polinomios dividendo y divisor en orden descendente, con respecto a una letra.

2. De ser necesario se completa la secuencia de exponentes en el polinomio dividendo.

3. Se divide el termino de mayor exponente del divisor, entre el término de mayor exponente del polinomio dividendo, el resultado será el primer término del cociente.

4. Se multiplica el término calculado en III, por el divisor; el resultado se lo resta al dividendo.

5. Se repite el proceso desde el numeral III hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

Ejemplificar: Considere los polinomios D = -10x + 4x ³ + 6 y d = 2x + 3. Determinar D/d.

Como el grado del residuo es menor que el grado del divisor, decimos que la división ha terminado.

Ejercitar: Se propusieron ejercicios donde el nivel de complejidad incrementaba, iniciando por polinomios en una sola variable, hasta llegar a división de polinomios con coeficientes fraccionarios y partes literales con exponentes literales.

Escritura de polinomios en el tablero

Se trabaja con polinomios de la forma P(x) = αx ² + bx + c con α, b, c en ℤ , es decir polinomios de segundo grado en una sola variable con coeficientes enteros. La escritura de polinomios se diferencia según la operación que se pretenda realizar en el tablero.

Los signos de los cuadrantes permiten representar los signos de los coeficientes, mientras que la cantidad de fichas dispuesta en el tablero representa justamente el valor absoluto del coeficiente y el área de la ficha representa la parte literal.

Escritura de polinomios para multiplicación

La forma general de los polinomios que se podrían multiplicar con la caja de polinomios sería P(x) = αx + b, donde α y b son números enteros.

Para ubicar un polinomio (factor) en el tablero, no se tienen en cuenta las áreas de las fichas, en este caso se tienen en cuenta las dimensiones de sus lados. Los lados de las fichas deben ubicarse sobre los ejes del tablero. Ejemplo: Para ubicar P(x) = -2x + 1, se escoge cualquiera de los ejes y se ubican dos fichas de lado "x" sobre el semieje negativo, y una ficha de lado "1" sobre el semieje positivo, garantizando que dos fichas continuas deben coincidir en la dimensión que las unen. Para ubicar el otro factor, se tiene en cuenta las dimensiones que quedan sobre el otro eje y se agregan las fichas necesarias para complementar el polinomio a representar. En las figuras 1 y 2 se muestran dos representaciones equivalentes de P(x) = -2x + 1 sobre el eje horizontal. Pero en la figura 1 está representado sobre el eje vertical Q(x) = x - 1, mientras que en la figura 2 está representado Q(x) = 0.

Figura 1: Representación equivalente.

Fuente: elaboración propia.

Figura 2: Representación equivalente.

Fuente: elaboración propia.

Escritura de polinomios para división

La ubicación de las fichas para dividendo y divisor tiene en cuenta el signo que determina cada cuadrante del tablero, como el signo que adquiere la dimensión de una ficha que queda superpuesta sobre un semieje.

La división en la caja permite efectuar divisiones de polinomios de segundo grado entre polinomios de primer grado; para ello, se representa en el tablero solamente el polinomio dividendo, disponiendo las fichas en un rectángulo que tendrá por base al polinomio divisor, teniendo presente las condiciones para la ubicación de fichas.

Por ejemplo: Se pretende realizar la división

$\frac{2x^2-x+3}{x-1}$

Para efectuarse se ubicaría solamente el polinomio 2x ² - x + 3 como se muestra en la figura 3.

Figura 3: Ubicación para división.

Fuente: elaboración propia.

Observe que las fichas del polinomio dividendo se ubican dentro de unas líneas imaginarias que determinan la base del rectángulo, que justamente es el polinomio divisor. Además, las dimensiones horizontales de las fichas adquieren el signo del semieje sobre el cual están superpuestas, al igual que las áreas de ellas adquieren el signo del cuadrante en el cual están contenidas.

Ceros

Un concepto fundamental que se utilizará se denomina cero, que corresponde a la propiedad invertible de la adición de números reales. La caja de polinomios permite representar por medio de fichas esta propiedad de una manera muy fácil de entender, pues dos fichas de igual peso algebraico ubicadas en cuadrantes de signos opuestos son opuestas, por lo cual su suma será un cero.

Las figuras 4 y 5 muestran dos formas de representar un cero utilizando dos diferentes tipos de fichas. Observe que en todos los casos son dos fichas del mismo peso algebraico ubicadas en cuadrantes de signos opuestos.

Figura 4: Ceros equivalentes.

Fuente: elaboración propia.

Figura 5: Ceros equivalentes.

Fuente: elaboración propia.

Multiplicación

La multiplicación consiste en construir rectángulos cuya base sea la representación de uno de los polinomios que se multiplicarán, y la altura, el otro polinomio. Ya se explicó el proceso para ubicar los polinomios factores en el tablero; pues bien, hay que decir que la ubicación de los polinomios es el paso más importante para multiplicarlos, ya que después de ello simplemente hay que completar el rectángulo que queda determinado.

Ubicación correcta de las fichas

Partamos del siguiente ejemplo: Si se quiere ubicar P(x) = -3x + 2 para la operación de multiplicación, para ello se hace sobre el eje horizontal, entonces se tendrían las siguientes opciones:

Figura 6: Representación 1 sobre eje horizontal.

Fuente: elaboración propia.

En la figura 6, se representa a P sobre el eje horizontal de modo que sobre el eje vertical queda representado el polinomio Q = -1. Mientras que en la figura 7 está representado el polinomio P sobre el eje horizontal, pero sobre el eje vertical queda determinado el polinomio Q = +1.

Figura 7: Representación 2 sobre eje horizontal.

Fuente: elaboración propia.

Lo anterior es fundamental a la hora de ubicar los polinomios sobre los ejes porque la ubicación del primer polinomio es estratégica para la ubicación del segundo. La razón se ilustrará con el siguiente ejemplo: Ubicar los polinomios P(x) = -x + 2 y Q(x) = 2x + 1, para efectuar la multiplicación.

Primero, se representa a P en el eje horizontal, de las dos formas posibles.

La figura 8 muestra a P sobre el eje horizontal y al polinomio -1 sobre el vertical. Por su parte, la figura 9 muestra a P sobre el eje horizontal y al polinomio +1 sobre el eje vertical. Ahora bien, si se analiza el polinomio Q , se observa que su término independiente es positivo (+1), lo cual implica que su representación en el tablero deberá poseer fichas de dimensión 1, superpuestas sobre el eje positivo vertical, por lo cual, de las dos opciones para representar a P , la correcta es la que muestra la figura 9. A continuación se procede a ubicar a Q , de la siguiente manera.

Figura 8: Ubicación para multiplicación.

Fuente: elaboración propia.

Figura 9: Ubicación para multiplicación.

Fuente: elaboración propia.

Figura 10: Ubicación polinomios factores.

Fuente: elaboración propia

Construcción del rectángulo

Representados los polinomios, se procede a construir el rectángulo que queda determinado por los lados de las fichas que quedan en los cuatro. La prolongación de los segmentos que, definidos por cada ficha, determinan las fichas respectivas que conformarán el rectángulo. Retomando el anterior ejemplo se tiene:

Figura 11: Rectángulo que determinan los factores.

Fuente: elaboración propia.

La figura 11 muestra el rectángulo determinado por los extremos de las fichas y el tipo de ficha que tiene que colocarse en cada posición para completar el rectángulo.

Figura 12: Rectángulo completo.

Fuente: elaboración propia

Finalmente, se determinan todos los ceros, levantado las fichas del tablero y se hace lectura del polinomio que queda representado, que será el producto de los polinomios. Para el ejemplo que se está desarrollando, se tiene:

Figura 13: Resultado multiplicación.

Fuente: elaboración propia.

Entonces:

P(x) * Q(x) = (-x + 2)(2x + 1) = -2x ² + 3x + 2.

División

La división de polinomios consiste en completar el rectángulo cuya base es el divisor. El área del rectángulo corresponde, en algunos casos, al dividendo, a parte de él, y en otros, al dividendo más unas fichas que hay que aumentar.

$\frac{-6x^2+2x+1 }{3x+2}$

Se representa el polinomio -6x ² + 2x + 1, en una franja cuyo ancho sea 3x + 2, intentando formar un rectángulo.

Como se observa en la figura 14, no se ha cubierto el ancho de la franja con las fichas del polinomio dividendo, pues falta cubrir un 1; para ello, se ubica una ficha 1 al lado derecho de la ficha 1 que ya se encuentra ubicada, que al estar sobre el cuadrante I adquiere signo positivo, lo que implica que haya un -1 para el residuo inicialmente.

Figura 14: Ubicación dividendo.

Fuente: elaboración propia.

Figura 15: Ubicación de ceros y residuo.

Fuente: elaboración propia.

A continuación, se construye un rectángulo utilizando la menor cantidad de ceros, teniendo en cuenta que un cero formado por fichas x debe ser tal que las dos fichas (positiva y negativa) deben estar en el rectángulo. Lo cual no pasa necesariamente con los ceros formados con fichas 1, pues en algunos casos las dos fichas están en el rectángulo, pero en otros solo una de las dos con lo que la restante inmediatamente pasará a ser parte del residuo. En síntesis, las únicas fichas que pueden conformar el residuo de la división son las fichas 1.

La intersección de las fichas muestra el tipo de ficha que sebe ser puesta en algunas partes vacías del rectángulo, por ejemplo, en el cuarto cuadrante se deben colocar 4 fichas x, lo que implica que en el primer cuadrante se también se deben ubicar 4 fichas x para que se determinen los ceros. Al ubicar los ceros de fichas x, inmediatamente queda determinados dos espacios que corresponden a dos fichas 1, que por ubicarse en el primer cuadrante serán positivas lo que implica que se deben agregar dos fichas 1 negativas al residuo (véase figura 16).

Figura 16: Rectángulo completo con ceros y residuo.

Fuente: elaboración propia

Finalmente, se ha completado el rectángulo bajo todas las condiciones, obteniendo que la altura es el polinomio -2x + 2, que es el cociente de la división, además, se determinó el residuo -3. Es decir:

$\frac{-6x^2+2x+1}{3x+2}= -2x+2+ \frac{(-3)}{3x+2}$

Que es igual a:

-6x ² + 2x + 1 = (-2x + 2)(3x + 2) - 3

Grupos EEE

Los grupos 8.2 y 8.4 con quienes se trabajó la metodología EEE se conforman por 43 y 46 estudiantes respectivamente, entre hombres y mujeres, cada uno.

Grupos CP

Los grupos 8.1 y 8.3 están compuestos por 43 y 40 estudiantes respectivamente, entre hombres y mujeres. No hay presencia de estudiantes repitentes, y como aspecto diferenciador, es importante mencionar que son grupos en los que se facilita lograr concentrarlos y disponerlos para el trabajo. Un aspecto relevante de 8.3 es que la inasistencia ha sido un factor determinante que incide negativamente en el aprendizaje, pues el ausentismo por parte de varios estudiantes es muy alto. Por su parte, en 8.1, si bien hay inasistencia alta, se concentra en dos, máximo tres estudiantes, es decir, son esos tres estudiantes los que acumulan la mayor parte de inasistencias a las clases de matemáticas.

Solución de ejercicios

Consistió en proponer 10 parejas de polinomios, con ellas plantear y resolver la multiplicación y división. Los polinomios propuestos van aumentando en nivel de complejidad, pues se inicia con polinomios cuyos términos tienen coeficiente entero y la parte literal compuesta por una sola letra, coeficientes fraccionarios, parte literal compuesta por dos o más letras con coeficientes enteros, y finalmente, términos con coeficientes fraccionarios y dos o más letras en la parte literal y exponentes literales. La escala evaluativa es la escala oficial de la institución, esto es, de 0 a 5 puntos. A cada ejercicio se le asignó igual valor numérico en cuanto a nota, siendo de 0.5 por ejercicio.

Exposición

Se asignó a cada estudiante una pareja de polinomios y en entrevista privada con el docente sustentaron el proceso de multiplicación y división, argumentando cada paso que aplicó. Este proceso se evaluó como correcto, si el estudiante explicó acertadamente los procesos, incorrecto en cualquier otro caso. Las siguientes tablas, con sus respectivos gráficos, muestran los resultados obtenidos por cada grupo, en cada una de las actividades evaluativas.

Solución de ejercicios

Figura 17: Ejercicios resueltos correctamente por grupo.

Fuente: elaboración propia.

Exposición

De la tabla 3 se observa que los promedios por grupos y por metodologías de trabajo no presentan diferencias significativas, lo cual implica que la efectividad de la metodología alternativa no se centra en incrementar el promedio de notas de un determinado grupo. Pero las desviaciones estándar de cada grupo y de cada metodología si llevan a concluir que con la metodología alternativa se logra que la mayor parte de los estudiantes se acerquen, en cuanto a notas se refiere, a la media de notas del grupo, por su parte, la metodología tradicional genera mayor dispersión de notas, lo que significa que hay estudiantes que alcanzan notas muy altas, al tiempo que hay otra parte de los estudiantes con notas muy bajas.