Acceso equitativo al razonamiento científico mediante la tecnología

Fase de inocencia

Casi todos los grupos de estudiantes interpretan la instrucción "a la misma distancia del punto A" asumiendo que se trata de "alinearlos" igualmente separados, comenzando por A y terminando en l. Por eso ubican los puntos en fila, entre A y l, tomando como referencia la posición de A y B de para localizar los demás puntos alineados a estos, igualmente separados unos de otros y en orden alfabético. Algunos grupos realizan una configuración inicial un poco diferente, al proponer dos "filas" de puntos igualmente separados entre sí en cada fila, de tal suerte que los puntos A, F, H, l, J, están más o menos en la misma línea e igualmente separados, los puntos B, C, D, E, G, parecen estar en otra línea y las distancias entre dos puntos de una fila parecen reproducirse en los puntos inmediatamente debajo (Figuras 1a y 1b).

Probablemente las experiencias previas de los estudiantes relacionadas con la igualdad de distancias, tanto al hacer filas en el patio como en tareas que implican el uso de una regla graduada, tienen que ver con establecer la misma distancia entre cada dos puntos consecutivos de la secuencia y no a la misma distancia a uno dado.

Figura 1:

Por ser la primera vez que usan el programa de geometría dinámica, lo emplean como si estuvieran trabajando en papel y lápiz, determinando los puntos donde ellos consideran que se cumple la relación pedida. Aunque mueven los puntos, esta acción está relacionada más con dibujar y borrar, para lograr la equiseparación, que con la intención de hacer variar la dirección, la colinealidad, la interestancia o la distancia que los separa. No se sorprenden por poder arrastrarlos. Su atención está puesta principalmente en lograr una cierta ubicación; no se enfocan en la función de arrastre, y lo que ellos consideran como equidistancia se ilustra con los puntos ubicados en posiciones como las que muestran las figuras 1a y 1b.

La profesora interactúa con los estudiantes, con el propósito de lograr que empiecen a ver el arrastre como recurso de exploración y centren la atención en el punto A, que debe servir de referencia para la ubicación de los demás puntos, pues todos deben quedar equidistantes de A. A unos estudiantes les pide que muevan a A hacia un lugar céntrico de la pantalla, distinto del que estaba, y luego que muevan los demás puntos "hasta que queden a la misma distancia del punto A". A otros les pide que señalen con el dedo la distancia del punto A al punto B y la distancia del punto A al punto D; luego les indica que arrastren los puntos hasta lograr que ambas distancias sean iguales. Desde el punto de vista de la teoría de variación, ella pretende generar oportunidades para impulsar un avance hacia el discernimiento de la relación de equidistancia a un punto, evocando las experiencias cotidianas y escolares de los niños sobre distancias entre puntos (trayectorias recorridas, trazos de caminos, ubicación en un plano cartesiano) para que interpreten la relación "misma distancia a un punto" como diferente de "misma distancia entre puntos".

Las indicaciones de la profesora tienen efectos diferentes en los niños y conducen a estrategias de acción distintas. Por ejemplo, Samanta (quien había hecho la configuración inicial de la figura 1a) arrastra el punto A y lo ubica hacia el centro de la pantalla. A continuación, arrastra los puntos B, C, D... hasta que logra una configuración muy parecida a la anterior, determinada por la nueva posición del punto A y por un mayor cuidado respecto a la colinealidad y a la distancia entre dos puntos "consecutivos" en la secuencia de puntos. Su compañero, Gustavo, señala los puntos A, B y E y dice: "tenemos que tener todos los puntos a la misma distancia de A, pero ahí no es". La profesora opta por pedir a la niña que ubique a B en una posición no alineada con los demás y luego les pide que "ubiquen a C a la misma distancia de A que como está B". Con ello busca que la pareja de puntos A, B se destaque, para que Samanta se enfoque en la distancia entre ellos y la use de referencia para ubicar los otros puntos a la misma distancia. Esta intervención intenta impulsar el discernimiento de la relación de equidistancia, con el apoyo del cambio de posición de puntos. Samanta parece haber captado la idea pues ubica a C perceptualmente a una distancia de A similar a la distancia AB como se muestra en la figura 2. Ella comienza a comparar perceptualmente la distancia de A a B con la de a otros puntos y no cada dos puntos entre sí.

Figura 2:

Javier, quien parte de la figura 1b, ubica a C perceptualmente a la misma distancia de A como está B. Parece que logra interpretar de manera apropiada la relación de equidistancia, cambiando la posición de C a un lugar en el que la relación de equidistancia se verifica. Pero cuando la profesora le pide ubicar otro punto que esté a la misma distancia, lo ubica superpuesto a C. Quizás prima la idea de alineación y no se le ocurre que los puntos que equidistan de A pueden no estar alineados. En términos del uso del programa, el estudiante no sabe aún que si dos puntos se superponen, representan el mismo punto, geométricamente hablando. Por solicitud de la profesora, busca posiciones que "estén a la misma distancia, pero no encima". Arrastra los puntos E y D, y propone una configuración como la de la figura 3b. Los puntos B, C, D y E están aproximadamente a la misma distancia de A mientras que los demás no. La configuración ilustra el contraste entre "misma distancia" y "diferente distancia". Javier termina de arrastrar los puntos y logra una configuración como la de la figura 3c. Poco a poco, mediante una construcción activa, los grupos van obteniendo configuraciones similares.

Figura 3:

Fase de adquisición

Cuando los estudiantes entrevén que los puntos tienen una disposición circular, la profesora los invita a buscar una herramienta del programa que les permita construir circunferencias. Algunos estudiantes juegan con la opción "círculo", para instrumentalizar su funcionamiento y volverla una herramienta de exploración. Apoyados por las instrucciones de la profesora, o de compañeros a quienes ella les ha dado indicaciones, construyen una circunferencia con centro en A y radio . Luego, por sugerencia de la profesora, "acomodan" los demás puntos para que la representación quede "mejor". Ellos colocan los puntos para que perceptualmente se vean como si estuvieran en la circunferencia (figura 4).

Figura 4:

La acción que detona el cambio de fase es la ubicación de algunos puntos alrededor del punto A y no alineados, lo que hace más evidente el contraste entre aquellos puntos que están a la misma distancia de A, de los que no lo están. Esto les da una idea a los estudiantes sobre cómo resolver el problema aprovechando la opción que brinda el programa Cabri. La atención se enfoca en lograr la representación adecuada. Se dan cuenta de que la circunferencia les permite ubicar varios puntos equidistantes de A como B, pero aún no usan el arrastre para explorar o verificar relaciones geométricas y no identifican la equidistancia como una relación que hay que preservar, pese a que otros aspectos de la representación cambien. En ese sentido, los estudiantes aún no ven la circunferencia como un lugar geométrico, no generalizan la propiedad de equidistancia a un punto como propiedad de cualquier punto de la circunferencia y, adicionalmente, quedan satisfechos con el ajuste perceptual. Aún no diferencian entre una construcción blanda y una robusta. La profesora interviene para centrar la atención en la inestabilidad de la construcción realizada y por lo tanto en las variaciones que pueden experimentar las distancias entre los puntos. Les pide arrastrar el punto A. Algunos estudiantes, como Javier, arrastran levemente el punto A, anticipando que la mayoría de puntos quedarán fuera de la circunferencia. Su compañera Estefanía, lo tranquiliza: "Ahorita los movemos", dándole a entender que podrán recuperar la configuración arrastrando los puntos. Ella da muestras de autonomía para resolver el problema que enfrentan.

Aunque la atención de los estudiantes parece estar puesta en la ubicación de puntos sobre la circunferencia construida, su acción se constituye en una experiencia exploratoria en la que relacionan la posición de y con la posición que deben tener los demás puntos que están a la misma distancia de que. Es evidente que los estudiantes contrastan cuándo se tiene y cuándo no se tiene la equidistancia, pero no saben aún cómo lograrla como una propiedad. Probablemente tienen un significado de la situación relacionado con la desorganización perceptual de la representación con la que estaban haciendo ostensiva la equidistancia, pero no con el hecho de no haberse apoyado en propiedades geométricas de objetos para hacer la construcción. Esta es una estrategia de acción que debe aprenderse al usar un programa de geometría dinámica, pues solo las construcciones robustas mantienen invariantes las cualidades esenciales cuando los elementos de la construcción se arrastran.

La profesora explica a todo el curso cómo construir un punto nuevo que "pertenece" a la circunferencia; enfatiza en que el punto no debe quedar adentro sino en la circunferencia y les pide fijarse en el letrero que sale en la pantalla de Cabri al acercar el apuntador a aquella. Luego, les pide que contrasten el comportamiento del punto, construido en la circunferencia, con el de otros puntos, cuando los arrastran. El movimiento de P acapara la atención de los estudiantes, quienes difícilmente perciben la "misma distancia" de cada punto de la circunferencia al punto. no es visto como cualquier punto de la circunferencia (una variable), sino como un punto que se mueve en una trayectoria específica.

En busca de reorientar la atención en la equidistancia, la profesora pregunta por la característica del movimiento de. Como ningún estudiante responde, ella dice: "[] se mueve y siempre está a la misma distancia de ". Les pide borrar toda la construcción, comenzar por una circunferencia y determinar varios puntos que pertenezcan a ella. Una vez construidos varios puntos en la circunferencia, ella insiste en enfocarse en la propiedad de interés: equidistancia. Los estudiantes consideran que los puntos construidos tienen dos propiedades: están en la circunferencia y se mueven en ella. Solo por insinuación de la profesora identifican que están a la misma distancia del punto. La experiencia del arrastre desplaza la atención de la distancia al movimiento. Quizás si la profesora les hubiera sugerido mover algunos puntos, buscando una relación entre las distintas posiciones de estos y el punto, los estudiantes podrían haber recuperado el foco de atención en la equidistancia de los puntos a. Pero la pregunta por una "propiedad" o "característica" no logra cambiar el foco de atención. Para que se fijen en tal relación les pregunta directamente por la equidistancia con respecto a cuál punto. Javier da la respuesta que ella espera: "del punto A". En términos de la resolución del problema, los estudiantes cumplen la misión encomendada pues representan puntos que equidistan de, en una construcción robusta. Además, usan el arrastre como herramienta de verificación de una propiedad invariante, como es la trayectoria circular de los puntos. Pero no han fijado la atención en la equidistancia como invariante característico.

Fases de internalización y trascendencia

La actividad matemática de los estudiantes relacionada con el problema de identificar el lugar geométrico de puntos que equidistan de un punto dado llegó en ese momento hasta la fase de adquisición. No hubo lugar a experiencias de variación que permitieran separar la equidistancia como un valor específico de la relación entre los puntos de una circunferencia y el centro de esta ni a generalizar la equidistancia como un invariante de la circunferencia. En una puesta en común, que sucede después de trabajar en el segundo problema, la profesora intenta suplir esta deficiencia mediante un ejercicio de ubicación de los estudiantes en el salón. Propone una tarea similar a la sugerida en las lecciones del texto guía, aunque previamente este no se había revisado. Pide a los estudiantes ubicarse a la misma distancia de un niño seleccionado. Los niños se ubican alrededor, formando una circunferencia y la profesora les pregunta por una característica común a todos los puntos de una circunferencia. Dónovan responde: "están a la misma distancia". Sin embargo, creemos que los estudiantes siguen enfocados en la manifestación perceptual de la equidistancia, porque aún no se ha introducido el uso de la medida. A pesar de ello, la experiencia desarrollada brinda a los niños oportunidades para discernir mediante un proceso de exploración con herramientas útiles (como el arrastre y la construcción de circunferencias), comunicar sus hallazgos y resolver con autonomía situaciones problemáticas. Estos son algunos de los indicadores de equidad encontrados en esta parte de la experiencia.

Fase de inocencia

Si bien los estudiantes han ganado cierta experiencia en el uso del programa de geometría dinámica, en este nuevo problema transitan otra vez por esta fase. No obstante, el arrastre cambia de funcionalidad. Se usa para obtener un ejemplo, mediante una representación estática, que perceptualmente cumple la propiedad de congruencia de dos lados.

La herramienta de arrastre se complementa con la de medida, un nuevo recurso de exploración, para lograr una posición en la que dos de las medidas coincidan o para verificar tales medidas.

Todos los grupos hacen construcciones blandas, a partir de tres segmentos concatenados, cuyas longitudes muestran en la pantalla o a partir de la opción "Triángulo"; usan el arrastre para lograr que dos lados midan lo mismo. Esta experiencia permite a los estudiantes contrastar representaciones que tienen la propiedad de congruencia de dos lados de las que no, experimentando la congruencia como dimensión de variación. Incluso, la atención puesta en lograr dos lados de igual longitud les hace perder el interés por la posición espacial, ampliando el universo de ejemplos con representaciones en posiciones no estándar. Sin embargo, los estudiantes no buscan un procedimiento que les permita hacer una construcción robusta, por lo que aún no identifican la congruencia como cualidad esencial invariante de un triángulo isósceles. En la figura 5 se muestran dos ejemplos de representaciones.

Figura 5:

El uso simultáneo del arrastre y la medición les da retroalimentación inmediata y útil a algunos grupos y les permite hacer los ajustes necesarios y lograr una representación de un triángulo isósceles. Algunos ejemplos de sus descripciones son:

Teresa: Primero pusimos tres segmentos [...] y ya después [...], los acomodamos de manera que dos quedaran iguales y uno quedara diferente.

Ariel: Estamos tratando de hacer un triángulo isósceles. Para saber si [dos lados] miden lo mismo, le ponemos aquí [señala la opción "Distancia y longitud"] para medir los [lados] azules [del triángulo]; [toma la medida de los tres lados]. Y si no miden igual, los vamos acomodando. [Arrastra un vértice hasta lograr dos lados de igual longitud.]

Otros grupos tienen dificultades con la instrumentalización de la opción "Distancia y longitud". Este es el caso de Guadalupe y Joshua, que no usan adecuadamente la opción, pues han construido el triángulo usando la opción "Triángulo del menú" y entonces el programa provee el perímetro. Sin embargo, ellos afirman que dos lados son iguales, sin apoyarse en la medida como "garantía" de esta afirmación. La profesora promueve una conversación al respecto.

Profesora: [En la pantalla tienen dibujado un triángulo con apariencia de isósceles, pero solo aparece la medida del perímetro.] ¿Ese triángulo es isósceles, Guadalupe?

Guadalupe: Sí.

Profesora: ¿Cómo sabes?

Guadalupe: Porque tiene sus dos partes iguales.

Profesora: ¿Y cómo sabes que tiene sus dos partes iguales? [...] ¿Las midieron? [...] Yo solo veo una medida [...] están midiendo el perímetro. Acércate [con el mouse] y mira lo que dice ahí, cuando sale el letrerito rojo: "perímetro". Ese no es el lado. [La profesora les enseña cómo medir un lado] Este ladito mide 7,24 [] y este [] 7,23. Parece isósceles [...].

Para Guadalupe, el hecho de no obtener sino un número al activar la opción "Distancia y longitud" no constituye un problema, ni se interesa por averiguar qué información brinda ese número. Quizás usó la opción por insinuación de la profesora o de algún compañero. Pero ella basa la identificación de la congruencia de los lados simplemente en la apreciación perceptual de la igualdad de medidas.

La profesora objeta esta manera de obtener información y le pregunta si ella midió los lados. Pero como de inmediato se da cuenta de que los estudiantes han empleado erróneamente la opción que brinda el programa, ella se centra en explicar el funcionamiento de la herramienta "Distancia y longitud" y no en discutir con ellos qué información se obtuvo. Cabe señalar que cuando se trabaja con lápiz y papel el perímetro de un polígono no se obtiene haciendo una única medida, sino determinando las medidas de los lados y luego sumándolas. En ese sentido, el resultado numérico obtenido por Guadalupe y Joshua es quizás considerado como la medida de un lado. Pero como no pueden obtener la otra medida, desisten del intento y toman la decisión con base en la percepción.

Otro tipo de intervenciones de la profesora tienen el propósito de introducir el arrastre como herramienta de verificación de las propiedades que se dice que tiene la representación hecha. Es su manera de guiar el avance hacia el análisis de las cualidades esenciales del triángulo isósceles como invariantes al arrastre. Estas intervenciones suceden cuando los estudiantes, a partir de que ella lo sugiere, arrastran vértices del triángulo construido y se pierde la congruencia de los lados. Estas son algunas de las intervenciones dirigidas hacia algún estudiante:

Ejemplo 1. [Profesora a Guadalupe]: ¡Ahí ya no [es isósceles]! Entonces necesito construir uno que por más que lo movamos para todos los lados, [estos] sigan iguales [en su medida] ¿Qué se les ocurre hacer?

Ejemplo 2. [Profesora a Ariel]: [...] no está bien diseñado porque si mueves un vértice se te daña. Necesito buscar otro camino para hacerlo sin que se dañe nunca, nunca, nunca ¿Saben cómo? [...] [...] A algunos niños se les ocurrió usar una circunferencia. Miren a ver si usando una circunferencia, pueden construir un triángulo que siempre sea isósceles. ¿Sí?

Ejemplo 3. [Profesora a Uriel]: Eso que tú trataste, que te queden dos lados iguales, se daña. Entonces tenemos que inventarnos otra construcción de tal modo que cuando yo pase, y les mueva, siempre va a tener dos lados iguales ¿Qué se les ocurre que podemos hacer? [...] A Belén se le ocurrió hacer una circunferencia. Vamos a ver. Haz una circunferencia Uriel.

Según la teoría de variación, los diferentes grupos de estudiantes están discerniendo la cualidad esencial del triángulo isósceles: dos lados congruentes. Han experimentado el contraste entre representaciones que tienen la cualidad y las que no. Pero no han generalizado la propiedad y siguen interesados en casos específicos.

La profesora les sugiere usar una circunferencia para ver si logran hacer una construcción robusta. Ubicamos las primeras estrategias en las que intentan usarla en la fase de inocencia, pues los estudiantes no se han valido de esta opción previamente y no saben cómo hacerlo. La profesora supone que establecerán rápidamente la asociación entre la congruencia de los radios de una circunferencia y la congruencia de los lados del triángulo isósceles y se valdrán de ello en su construcción. Sin embargo, no todos los grupos establecen tal asociación. En la figura 6 presentamos algunas propuestas.

Figura 6:

Teresa y Belén, por ejemplo, explican a la profesora lo que quieren hacer:

Teresa: Vamos poniendo tres puntos de forma que queden en un triángulo, sobre la circunferencia para que ya dé [...] y no se dañe.

Teresa: [Hace un triángulo como el de la figura, usando los puntos que había determinado en la circunferencia y la opción "segmento"].

Profesora: Un momento, [...] ¿Ustedes creen que ese triángulo es isósceles?

Belén: ¡No!

Profesora : ¿No? ¿Entonces por qué lo construyeron?

Teresa: Porque ya después lo vamos a medir.

Las estudiantes continúan tratando de lograr un ejemplo representativo, pero no general. No emplean las propiedades de los radios de la circunferencia para lograr la construcción robusta y pretenden basarse en las medidas de los lados para lograr la congruencia de los lados.

Una construcción en la que aparentemente se usan dos radios de la circunferencia como lados del triángulo es la de Andrés y Aldo. Sin embargo, en la explicación que hace Aldo menciona que determinó la medida de dos lados, y luego arrastró uno de los vértices hasta lograr la igualdad. Después construyó una circunferencia con centro en un vértice y usó un lado del triángulo como radio. Al hacer el arrastre del tercer vértice, se hace evidente que este no se construyó en la circunferencia sino que la ubicación se ajustó mediante el arrastre. La profesora les sugiere que comiencen de nuevo, haciendo una circunferencia como primera construcción.

En las descripciones que hacen los diferentes grupos, cuando la profesora les pide explicar lo que han hecho, se evidencia contraste entre aquellas representaciones de un triángulo isósceles de las que no lo son. Logran proponer configuraciones empleando las opciones de medida y arrastre, pero ninguno propone una construcción robusta. Como no han separado la congruencia como cualidad de diversos segmentos, no asocian la congruencia de radios de una circunferencia con la congruencia de lados de un triángulo. Tampoco han generalizado la propiedad, independizando la congruencia de las medidas específicas obtenidas en casos particulares.

Fase de adquisición

Los estudiantes requieren de la mediación de la profesora para avanzar hacia una construcción robusta que les permita percibir la propiedad esencial de los triángulos isósceles como un invariante al arrastre. Para ello, deben poner en juego el hecho geométrico visto en el problema anterior. Además de pedir a los estudiantes que arrastren los vértices de los triángulos construidos para ver que la construcción no conserva la cualidad esencial al arrastre, los invita a pensar en cómo proceder: "Tenemos que pensar en una forma que nunca se nos dañe el triángulo isósceles. ¿Qué se les ocurre que podemos hacer?" "¿Para qué nos serviría una circunferencia?" Con ello promueve que los niños busquen por sí mismos la solución al problema.

Sandra y Aldo, aunque tímidamente, sugieren cómo proceder. Sandra le dice a Benjamín, su compañero: "Que dos de sus lados sean radios", pero Benjamín construye un triángulo inscrito en una circunferencia sin considerar la idea propuesta. Sandra ha encontrado la manera de proponer una construcción robusta que le permite resolver el problema. Le falta hacerse escuchar y convencer a su compañero. Por su parte, Aldo, atendiendo a la sugerencia dada por la profesora de comenzar por una circunferencia, la construye y luego propone: "Unir los puntos y unir los [...] [señala con los dedos índice y pulgar el centro de la circunferencia y un punto en la circunferencia]". Hace algunos intentos de determinar puntos en la circunferencia, luego desiste de esa idea, activa la opción "Segmento" y construye una cuerda de la circunferencia. Finalmente, traza los radios correspondientes a los extremos de la cuerda.

Después de varios intentos y a partir de observar y confrontar los resultados obtenidos unos y otros, varios grupos usan la circunferencia y dos de sus radios para construir un triángulo isósceles. La atención está puesta en lograr hacer la construcción robusta. Algunos se valen del arrastre para verificar, pero espontáneamente no justifican la congruencia de los lados del triángulo.

-En la figura 7 se muestran dos ejemplos de las construcciones que hicieron, en dos momentos del proceso.

Figura 7:

A pesar de haber hecho la construcción robusta que resuelve el problema y haber verificado por arrastre que los lados son congruentes, Carolina propone tomar medidas. La profesora la interroga sobre la necesidad de hacerlo.

Carolina: Aquí hay una forma [señala los menús] para saber cuánto miden.

Profesora: ¿Necesitamos saber cuánto miden?

Carolina: Para saber si es la misma medida del otro. (Guadalupe exhibe la medida de los radios.)

Profesora: ¿Y no sabíamos ya que tienen la misma medida? ¿Sí o no? Mueve los vértices [...] Mueve más [...] Mueve más. ¿Qué pasa con los lados?

Carolina: Se hacen más grandes.

Carolina percibe el cambio en las longitudes de los lados, pero no se centra en la invariancia de la congruencia. No ha separado esta propiedad como cualidad esencial por atender. Por eso considera que es necesario medir para verificar que el triángulo es isósceles.

Sandra logra que Benjamín haga la construcción del triángulo, a partir de una circunferencia y dos radios. Ella ha anticipado que así logrará hacer la construcción: "Este va a ser siempre un triángulo (señala los dos radios y con el dedo recorre el trayecto del tercer lado)". La profesora le pregunta por el tipo de triángulo y ella exclama: ¡Un isósceles! Sandra ha logrado formular una conjetura cierta, resultado de un proceso de exploración y descubrimiento. Pero su compañero, Benjamín, no está de acuerdo. Dice que el triángulo construido no siempre es isósceles y hace un arrastre cuidadoso de los vértices, quizás en busca de una configuración que le sirva como no ejemplo. Luego obtiene las medidas de los lados y arrastra los vértices del triángulo para verificar que son iguales.

Aunque algunos grupos han logrado resolver el problema, no podemos afirmar que han pasado a la fase de internalización. Siguen viendo la situación desde un punto de vista empírico y no dan muestras de generalizar. Por eso sus explicaciones están basadas en describir lo que hicieron para construir el triángulo. La siguiente conversación es un ejemplo de ello.

Profesora: ¿Y por qué [los lados] son de la misma longitud? Graciela: Porque son del mismo tamaño.

Eric: Porque [...] este [...] los pusimos a la misma distancia.

[...] [...] Porque los medimos.

Profesora: ¿Los midieron para ponerlos a la misma distancia? No, eso no fue lo que me contaron. ¿Cómo fue que hicieron la construcción? [...] [...] ¿Qué fue lo primero que hicieron? Vuelve a hacer la construcción. [...] [...] ¿Qué fue lo primero que hicieron?

Eric: Hicimos un círculo. [Construye una circunferencia].

Profesora: ¿Y para qué hicieron el círculo?

Eric: Para poder guiarnos.

Profesora: ¿Guiarnos de qué?

Eric: Para hacer las líneas de la distancia. [Construye un radio de la circunferencia].

Profesora: ¡Ah! Es que la utilizaron para saber que las líneas, los segmentos, medían lo mismo. ¿Y por qué saben que los segmentos medían lo mismo? [...] [...].

Eric: Porque para [...] [Construye el lado del triángulo que es cuerda de la circunferencia].

Profesora: ¿Qué fue lo que dijimos de las propiedades de la circunferencia? [...] ¿Ah? [...] ¿Eric?

Eric: [Construye el tercer lado del triángulo, haciendo otro radio.] Que todos los puntos están a la misma distancia de [...].

Graciela y Eric reconstruyen el proceso desarrollado para obtener el triángulo isósceles. Al explicar el porqué de la congruencia de los lados, Graciela alude a que tienen el mismo tamaño y Eric a la equidistancia y a la igualdad de medida. Las explicaciones dan a entender que hicieron un triángulo y luego ajustaron las longitudes de los lados para que quedaran iguales, aunque el proceso que llevaron a cabo no fue así. Ellos no establecen la diferencia en el resultado que se obtiene si primero hacen el triángulo y luego una circunferencia para ajustar las medidas de dos lados, o si primero hacen una circunferencia y con base en los radios de esta obtienen los lados del triángulo. La profesora intenta que capten la diferencia pidiéndoles reconstruir el triángulo. También busca que los estudiantes pasen de un argumento empírico a un argumento teórico, para justificar la congruencia, de tal suerte que avancen hacia la generalización. Pero con esta conversación no lo logra.

Fase de internalización

La profesora busca que los estudiantes diferencien la congruencia de los lados de otras cualidades de las representaciones, generalizándola como propiedad invariante de cualquier triángulo isósceles. Con intervenciones como las siguientes, busca que los estudiantes avancen hacia la internalización.

Ejemplo 1. [Profesora a todo el grupo]: Tenemos que hacer un triángulo que sea isósceles y que, no importa para donde lo muevan, se tiene que quedar con una propiedad. ¿Con cuál propiedad se tiene que quedar?

Ejemplo 2. [Profesora a Teresa y Uriel]: [...] Tienen que explicarme por qué ese lado [señala un radio] y ese lado [señala el otro radio], siempre van a ser iguales.

Ejemplo 4. [Profesora a Joshua y Esmeralda] Claro, porque hicimos radios de la circunferencia que siempre son iguales.

En dos parejas se aprecia un avance de algunos estudiantes hacia la generalización de la propiedad. Una de ellas es la de Teresa y Belén. Así explican a la profesora:

Teresa: Y ya de cualquier manera que lo pongamos siempre son iguales.

Profesora: A ver, muéstrenme. Agranda y achica el círculo, arrastra los vértices.

[...]

Teresa: Porque los dos están a la misma distancia del centro.

Profesora: ¿Y por qué sabes eso?

[...] Belén: Porque siempre va a ser [...] todos los [señala un radio con el dedo].

Profesora: radios.

Belén: Son del mismo tamaño.

Las dos intervenciones de Teresa no se refieren a un caso particular. Ella generaliza la situación aludiendo a que los lados "siempre son iguales", alude a que dos vértices del triángulo "están a la misma distancia del centro" e intenta hacer referencia a la propiedad común de todos los radios de una circunferencia. Este es un ejemplo de construcción activa de conocimiento, donde la exploración e intercambio en el grupo permitió avanzar hacia la diferenciación de propiedades geométricas. Belén la apoya en la enunciación del hecho general, pues Teresa olvida cómo se denominan los radios. La experiencia de resolución del problema les ha permitido discernir la propiedad esencial de los triángulos isósceles como invariante en una construcción dinámica. Además, ha llevado a Teresa a justificar teóricamente la congruencia, aproximándose al mundo geométrico.

Esmeralda y Joshua parecen separar la congruencia como propiedad invariante ante el movimiento. Sin embargo es difícil identificar hasta qué punto han entendido la propiedad, pues usan un lenguaje poco claro. Cuando la profesora le pregunta a Esmeralda qué pasa si se agrandan o achican la circunferencia Esmeralda dice que los radios "se hicieran más grandes pero seguirían en el mismo porcentaje", probablemente aludiendo a la congruencia. Joshua la apoya: "Si lo mueves y siguen los mismos centímetros, es que sí es isósceles".

El siguiente diálogo entre la profesora y Carolina da muestra de un arribo de la estudiante a la fase de internalización.

Profesora: ¿Y por qué sabías que es isósceles?

Carolina: Porque los radios son iguales y nada más íbamos a hacer dos líneas para que quedaran iguales.

Profesora: ¿Y por qué entonces tu compañera los midió? ¿Tocaba medirlos?

Carolina: No, porque ya ahí sirve que los radios son iguales. Profesora: No había necesidad de medirlos, porque ya se sabía. Y si se agrandaba o achicaba la circunferencia, ¿qué pasaba?

Carolina: Ya, ya... este... cambiaban las medidas y ya no era triángulo isósceles.

Profesora: ¿No? ¿Si agrandamos el círculo?

Carolina: ¡Ah sí! Pero ya no queda de la misma medida de los primeros radios que hicimos.

Profesora: Pero, ¿sigue siendo triángulo isósceles, o no? Carolina: Sí.

Profesora: ¿Cuál es la diferencia con el otro triángulo isósceles? Carolina: Nada más cambia la medida.

Carolina reconoce la cualidad esencial como una propiedad geométrica general (dos lados congruentes) que determina al triángulo isósceles. Ella afirma que desde la construcción robusta realizada, donde dos radios de una circunferencia son los lados del triángulo, entonces son congruentes. Desde el punto de vista de la equidad, en el análisis de la resolución de este problema, encontramos que los estudiantes tuvieron la oportunidad de emplear nuevas herramientas de exploración (como la medida), modificar sus estrategias de intervención gracias a la retroalimentación proporcionada por el programa de geometría dinámica y la ayuda de la profesora, explicar sus producciones, producir enunciados generales y justificarlos. Asimismo, el equivocarse se vio como parte del proceso de resolución del problema planteado y una oportunidad para el aprendizaje de propiedades geométricas.