El material Montessori: de la vida práctica a la mente matemática

La potencia del material en el método Montessori

El método Montessori es mundialmente reconocido por la posibilidad que ofrece de brindarle al niño escenarios y materiales de orden científico, potentes para su desarrollo en todos los ámbitos. Así lo define la autora:

Mi método es científico, tanto en su esencia, como en su fin. Procura la consecución de un estadio más avanzado del progreso en direcciones no solo material y fisiológica. Es un esfuerzo para completar el camino recorrido por la higiene tan solo en el lado físico. (Montessori, 1994, p. 78)

El material tiene una relación estrecha con los periodos sensibles, acuñados por Montessori a partir de los estudios propuestos por De Vries, que los concibe como los momentos en que los niños están prestos y preparados para asimilar un concepto o apropiar un conocimiento. Es de recordar que estos solo se desarrollan mediante una acción libre sobre el ambiente y se presentan únicamente en un momento de la vida particular. Los periodos sensibles se describen así:

El periodo sensible del lenguaje, que se sitúa aproximadamente entre los 2 meses y 6 años; el periodo sensible de la coordinación de movimientos (más o menos desde los 18 meses hasta los 4 años); el periodo sensible del orden (desde el nacimiento hasta los 6 años); el periodo sensible de aguzamiento de los sentidos (más o menos desde los 18 meses hasta los 5 años); el periodo sensible del comportamiento social (aproximadamente desde los 2 años y medio hasta los 6 años); el periodo sensible de los pequeños objetos (un periodo muy corto en el transcurso del segundo año). (Patron et al., 2019, p. 10)

Los periodos sensibles, a su vez, ayudan a organizar el método en grupos de actividades que potencian el desarrollo cognitivo del niño. Así, se hace posible desarrollar actividades y proponer series de materiales adecuados para cada uno de los segmentos de la escolaridad: educación motriz (vida práctica), educación sensorial (vida sensorial), lenguaje y matemáticas. Para alcanzar los propósitos de este artículo de reflexión, se expondrán los materiales que aportan al desarrollo del pensamiento matemático.

El método de la pedagogía científica lleva al niño de la relativa sencillez de las actividades cotidianas a lo que Montessori ha llamado la mente matemática. Esta es concebida como aquella “que se construye a través de la exactitud […]. El término es debido al filósofo, físico y matemático francés Pascal, el cual decía que la forma de la mente humana es matemática: la apreciación de las cosas exactas permite el conocimiento y el progreso” (Montessori, 1999, p. 123). Para ello, la autora del método de la pedagogía científica creó un material claramente estructurado. ¹

El material montessoriano, en general, y, en particular, el dedicado al desarrollo de la mente matemática, tiene características que ponen de relieve su potencia:

• Es autocorrectivo, es decir que el niño, mientras manipula el material, se da cuenta por sí mismo si está ejecutando bien la acción o no, lo que deriva en una comprensión del concepto que está trabajando.

• Aísla una dificultad a la vez, lo que quiere decir que, con la manipulación correcta y adecuada de un material determinado, el niño es capaz de comprender fácilmente lo que debe hacer.

• El material relaciona la experiencia sensorial de los niños con el objeto matemático que se debe comprender.

Así, queda claro que para Montessori hay una diferencia entre el material y el juego. De hecho, asume una postura crítica frente a este último: “En educación se habla, es cierto, de juego, pero hay que entender por tal un trabajo libre ordenado con un fin determinado y no el desenfreno que dispersa la atención” (Montessori, 2013. p. 208). Es cierto que hay que distinguir entre material y juego (Torres y Casallas, 2021), pues “nombrarlos como iguales impide que se desarrollen procesos de enseñanza y aprendizaje diferenciados pero relacionados en escenarios particulares de la clase [de matemáticas]” (p. 206).

Materiales de la vida práctica

La educación motriz es concebida por Montessori como uno de los principales factores que aportan a la disciplina de los niños. Esta educación vincula movimientos diarios (como andar, levantarse, sentarse), cuidado personal, jardinería y trabajo manual, gimnasia y movimientos rítmicos.

De manera general, María Montessori reconoció que las actividades de la vida práctica del niño deben atender tres objetivos claros: a) lograr independencia en el niño, pero, a su vez, ayudarlo a aportar en el orden de su espacio; b) potenciar el cuidado propio, que incluye procurar su buena presentación —por ello es clave que el niño sea capaz de ajustar su cremallera, abotonarse la camisa, amarrarse los zapatos, entre otros—; c) cuidar del espacio compartido —por eso, limpiar las mesas o los pisos, colocar la mesa, levantar la loza, etc., permite que el niño se sienta comprometido con los otros—.

Para el desarrollo de la vida práctica no se proponen materiales específicos más allá de los materiales previstos para la vida cotidiana. Por ello en las aulas Montessori se dispone, por ejemplo, de frascos con distintas roscas para que los niños, al apretar y aflojar las tapas, fortalezcan los músculos de las manos —esto como preparación para la escritura—. Igualmente, se dispone de bastidores en los que los niños pueden cerrar y abrir cremalleras con tope o de tipo cazadora, abotonar y desabotonar, amarrar y desamarrar cordones, así como abrir hebillas. Este material en particular permite que los pequeños adquieran independencia al vestirse y desvestirse solos.

De acuerdo con Patron et al.(2019), en el marco del método, en la vida práctica se prioriza el siguiente conjunto de actividades. Algunas de ellas vinculan material no estructurado ² —aunque hay muchas más, aquí solo se referencian las que aportan al desarrollo de la mente matemática—(ver tabla 1):

Tabla 1: Algunas actividades del segmento vida práctica.

Fuente: elaboración propia.

Sin duda, estas tres actividades presentadas en la vida práctica aportan al desarrollo del pensamiento matemático, pues, mientras el niño dobla la servilleta, por ejemplo, reconoce una representación concreta del cuadrado y del triángulo rectángulo isósceles, y puede llegar a comprender la conservación del área cuando identifica que las áreas de las 4 regiones en las que está dividida la servilleta (ejercicio 4) corresponden al área completa de la servilleta.

Por su parte, al desplazarse por la línea, el niño desarrolla lo que Gálvez (citada por González y Weinstein, 2006) llama microespacio y mesoespacio. El primero es entendido como “el sector del espacio, próximo al sujeto, que contiene objetos posibles de ser manipulados” (p. 93), y el segundo se comprende como “una parte del espacio que contiene tanto objetos físicos no manipulables como al sujeto” (p. 94). Además, el niño puede reconocer y diferenciar las líneas rectas de las líneas curvas, tener un acercamiento a otras formas como la elipse e identificar la continuidad de las líneas curvas cerradas.

La actividad en la que el niño trasvasa líquido de un recipiente más grande a otro permite, además de agudizar la precisión, acercarlo a la conservación de la cantidad de líquido —aunque el envase que lo contenga sea de distinta forma—.

Materiales de la vida sensorial

Montessori plantea que la vida sensorial es la oportunidad que tiene el niño de conocer el mundo a partir de sus sentidos. Por ello es necesario que se le brinden ambientes y materiales preparados para que, desde lo concreto, camine hacia la abstracción:

Los sentidos son puntos de contacto con el ambiente, y la mente, al ejercitarse para observar el ambiente adquiere el uso más refinado de estos órganos, como un pianista que puede arrancar del teclado sonidos que pueden variar en perfección infinita. Del mismo modo, la mente puede sacar de los sentidos impresiones cada vez más precisas y refinadas. (Montessori, 1999, p. 229)

La autora del método de la pedagogía científica distingue lo sensorial de lo sensitivo. Entiende lo sensorial como lo que es percibido por los sentidos externos y lo sensitivo como la “actitud interior relativa a los desarrollos sucesivos de la vida y, en particular, a la personalidad: al centro de cada persona” (Montessori, 2019, p. 30). Con esto en mente, ideó materiales precisos para potenciar los sentidos y que, a su vez, ayudaran a que las sensaciones quedaran fijadas en el cerebro de los niños —entre otras cosas, porque ayudan a ordenar la mente por medio de las funciones sensoriales—:

Para llegar a este resultado, el proceso es diferente al usual, no hay que fijar el pensamiento a una idea, sino manejar un objeto, retenerlo en contacto con los ojos, desplazarlo constantemente, reproducirlo con imágenes sensibles (dibujos, pinturas, trabajos en papel, etc.). De este modo, la mente se pone en contacto y se fija en él utilizando la periferia hasta que esta perciba todo que el objeto puede darle; la mano toca la evidencia y la mente descubre el secreto. (Montessori, 2019, p. 82)

El material en la vida sensible es más estructurado que el presentado en la vida práctica, pues se espera precisamente que obligue al uso de los órganos de los sentidos de manera aislada. Por eso, cada material tiene una cualidad única:

Con los materiales sensoriales damos una guía, una especie de clasificación de las impresiones que se pueden recibir de cada sentido: los colores, los sonidos, los rumores, las formas y las dimensiones, los pesos, las impresiones táctiles, los olores y los sabores. (Montessori, 1999, p. 230)

Son muchos los materiales destinados a alcanzar el propósito de la vida sensorial. Para conocerlos a profundidad, se recomienda consultar el libro El método de la pedagógica científica aplicado a la casa de los niños, particularmente el capítulo x: “El material para la educación de los sentidos”. Dado el objetivo de este artículo, aquí solo se expondrán aquellos materiales que, según el análisis elaborado, aportan al desarrollo de la mente matemática.

Para desarrollar el sentido de la vista, Montessori clasificó los materiales de acuerdo con tres criterios: la discriminación visual por tamaño, la discriminación visual por color y la discriminación visual por forma, tal como se muestra en la (tabla 2).

Tabla 2: Materiales para el segmento de vida sensorial.

Con este material, Montessori propuso el tránsito de lo concreto a una elevación de la mente hacia lo abstracto. Cada uno de los materiales aporta de manera importante al desarrollo del pensamiento matemático desde el sentido de la visualización, entendido este como “una forma de actuar en la que se presta atención a aquellas representaciones gráficas [o manipulativas] que desvelan las relaciones abstractas de la idea matemática que se estudia, con el fin de conseguir una destreza en su manejo” (Martel, 2000, p. 386). Es necesario aclarar que, en matemáticas, visualizar no es solo ver con los ojos la representación del objeto matemático: el proceso de visualización debe permitir ordenar el pensamiento para razonar, generalizar y conjeturar.

Es claro que con los materiales descritos para potenciar la discriminación por tamaño, el niño, por medio de la visualización, debe ser capaz de medir, aunque no asigne un número a esa cantidad de medida. Para ello, el niño acude a una estimación sensorial centrada “en vivenciar las magnitudes a través de los sentidos, persiguiendo que el alumno sea capaz de aislar la magnitud con la que se va a trabajar del resto de características de los objetos” (Chamorro en Arteaga y Macias, 2016, p. 155). Por ejemplo, con los listones (rojos, o rojos y azules), el niño es capaz de aislar la longitud del color o del peso.

Adicionalmente, con estos materiales los niños hacen una comparación directa³ que “trabaja la magnitud a través de la clasificación y ordenación de los elementos que forman parte de una colección sin necesidad de utilizar ningún intermediario o elemento externo para ello” (Chamorro en Arteaga y Macias, 2016, p. 155). Por ejemplo, con la torre rosada, el niño debe ser capaz de ordenar, a partir del tamaño, comparando cada una uno de los cubos.

El uso en conjunto de algunos de estos materiales permite considerar la comparación indirecta. Esta consiste en usar un intermediario para comparar y poder ordenar. Por ejemplo, con la escalera marrón, el niño podría usar como intermediario el cubo más pequeño de la torre rosa y comparar la longitud de las aristas para concluir que el segundo escalón mide de alto lo que la altura de dos cubos pequeños apilados.

Fuente: archivo fotográfico de la autora.

Finalmente, se puede presentar una cuarta etapa, la elección de la unidad. Esta consiste en utilizar una unidad única de medida no estándar como referente para medir. Por ejemplo, el listón uno (en los listones rojos, en los listones rojos y azules) puede ser usado como unidad iterada para medir la longitud de los otros listones.

Por su parte, los materiales diseñados para la discriminación visual por forma permiten inicialmente reconocer las características únicas de cada figura a partir de su contorno. Así, con los triángulos constructores, el niño podrá comparar las figuras de una caja y diferenciarlos de acuerdo con el lado señalado (si lo tiene) o reconocer la diferencia entre los triángulos de cada una de las cajas. Con el armario geométrico, el niño puede concentrarse en la diferencia, por ejemplo, entre el cuadrado y el trapecio isósceles.

Montessori reconoce que el material sensorial, en general, aporta al desarrollo de la concentración de los niños, sobre todo los más pequeños, y, cabe repetirlo, se presenta como el inicio del camino de lo concreto hacia lo abstracto:

Los materiales para la educación de los sentidos son como una especie de llave para abrir una puerta a la exploración de las cosas externas, como una luz que hiciera ver más cosas y más detalles que en la oscuridad (en el estado inculto) no podrían verse. (Montessori, 1999. p. 230)

Por su parte, el material diseñado para la geometría ornamental permite combinar más de un criterio para la ordenación. El niño puede ordenar teniendo en cuenta el tamaño y el color, o el color y la forma, o la forma y el tamaño. Adicionalmente, también puede crear diseños usando las figuras y encontrar patrones de formas que se arman al superponer unas sobre otras. Este proceso exige el desarrollo paulatino de la coordinación y la precisión del movimiento.

Con lo anterior, queda claro que el material estructurado, dispuesto en el segmento de la vida sensorial, es el inicio de la consolidación de la mente matemática. Por eso, es pertinente presentar estos materiales antes de concentrar la atención del niño en los materiales diseñados para el segmento de las matemáticas.

Materiales específicos para las matemáticas

María Montessori, en sus dos obras dedicadas al desarrollo de los conceptos matemáticos, esto es, Psicogeometría (2019) y Psicoaritmética (2020), propone una serie de materiales particularmente diseñados para potenciar la mente matemática.

En el primer texto, reconoce materiales avanzados para el desarrollo de los conceptos propios de la geometría plana:

Fuente: Montessori (2019).

• Figuras fundamentales: el conjunto consta de tres figuras básicas (círculo, cuadrado y triángulo). Las tres figuras tienen como medida 10 centímetros de lado —para el caso del cuadrado y el triángulo equilátero— y 10 centímetros de diámetro —para el círculo—. Estas figuras se consideran el centro y origen de todo el material para la geometría plana.

• Triángulos: conjunto compuesto por cuatro triángulos equiláteros divididos en medios, tercios y cuartos, y otro que representa la unidad.

• Cuadrados: es un material dispuesto de la siguiente manera: “el cuadrado está entero y después, sucesivamente, dividido en dos, cuatro y dieciséis partes en dos series. En la segunda serie, es decir: por medio de diagonales, en triángulos cada vez más pequeños; y utilizando los puntos medios de los triángulos en el proceso de subdividir las formas” (Montessori, 2019, p. 88).

• Círculos: conjunto compuesto por 10 círculos, cada uno dividido en sectores radiales que representan desde los medios hasta los décimos del área. Uno de los círculos representa la unidad.

• Formas inscritas: el conjunto consta de las figuras básicas inscritas en otra, lo que, por medio del resaque, permite hacer pruebas y comparaciones. Los espacios blancos pueden ser rellenados con los sectores de varias dimensiones de las formas que han sido subdivididas.

Este material permite que, por medio del desplazamiento y encastre, se adquieran de manera intuitiva los conceptos de proporción, semejanza y congruencia, pues tiene en cuenta los ángulos que se pueden comparar entre las partes en que ha sido dividida cada una de las figuras fundamentales. Adicionalmente, este material puede apoyar el acercamiento a la interpretación de la fracción como parte del todo.

En el segundo texto, Psicoaritmética (2020), propone específicamente materiales especializados para el área de matemáticas, como las barras de colores, las tablas de Seguín, los números largos, el banco de perlas y los tableros para las operaciones básicas. Para efectos de este artículo, expondremos el uso del material para la secuencia que ha propuesto Montessori en su método de la pedagogía científica. ⁴ En el periodo preescolar, se aborda el conteo y la relación entre cantidad y numeral. Para ello, se propone la siguiente secuencia de materiales:

Fuente: elaboración propia.

Nótese que se inicia con los listones rojos y azules, trabajados en el segmento de vida sensorial, pero ahora se usan para presentar la cantidad en una unidad continua ⁵ y el número en su contexto de medida: “Los números describen la cantidad de unidades de alguna magnitud continua como longitud, superficie, volumen, capacidad, peso, tiempo, etc.” (Castro et al., 1995, p. 4). Luego, se pasa al reconocimiento de la escritura de la grafía del número con los números de lija presentados también el segmento de la vida sensorial.

Posteriormente, se presenta la caja de husos, considerado como el primer material especializado para el segmento de matemáticas en el método de la pedagogía científica. Consiste en dos cajas, una con casillas numeradas del cero hasta el cuatro, y otra con casillas numeradas del cinco al nueve. Este material pretende asociar la cantidad con el numeral correspondiente. La caja de husos presenta la unidad de conteo discreta.

El juego de cifras y fichas tiene el mismo objetivo que la caja de husos, esto es, asociar el numeral a la cantidad, pero esta vez con la intención de incorporar la subitización, entendida como una forma de percibir “de una ojeada” la cantidad de tal forma que el número aparece en la mente de forma instantánea (Castro et al., 1995). Arteaga y Macias (2016) lo explican más ampliamente: se trata del

proceso mediante el cual el niño, de un solo golpe de vista, indica el número exacto de elementos que hay en una colección sin necesidad de contarlos. Un ejemplo claro de subitización se produce cuando al lanzar un dado y sacar 6, indican el número obtenido sin tener que contar el número de puntos. Este procedimiento se produce ante colecciones pequeñas de elementos. (p. 112)

Fuente: Montessori (2020).

Finalmente, en esa secuencia se encuentran las perlas de colores, las cuales son una suerte de combinación de las unidades continuas y discretas, dado que se presentan como una barra de alambre (lo continuo) en la que se insertan perlas del mismo color (lo discreto).

Posteriormente, en el método montessoriano se sugiere la presentación del material para la comprensión del sistema de numeración decimal con la siguiente secuencia para la educación básica primaria:

Fuente: elaboración propia.

Para esta secuencia aparecen materiales adicionales:

Las tablas de Seguín permiten hacer la construcción del número a partir de la colocación de una tarjeta con un dígito sobre cada uno de los 10 escritos en la tabla (para el caso de las primeras tablas), con el fin de que el niño construya el numeral a partir de la comprensión de la decena. Así, debe entender que 13 es un grupo de 10 y 3 unidades sueltas. Esa construcción se complementa con la asociación de las perlas de colores. Las segundas tablas de Seguin presentan los grupos de 10 en 10, en familias, esto es 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 y 90.

Fuente: archivo fotográfico de la autora.

Los números largos facilitan la ampliación del rango numérico y consolidan el valor posicional como una característica fundamental para el sistema de numeración decimal. Al disponer cada tarjeta donde corresponde, el niño va comprendiendo la composición y descomposición del número a partir de su valor relativo, esto es, el valor que toma el número cuando ocupa una posición determinada. Por ejemplo, en 302, el 3 tiene un valor relativo correspondiente a 300, dado que ocupa el lugar de las centenas.

Fuente: archivo fotográfico de la autora.

El banco de perlas doradas se reconoce como un segundo nivel de las perlas de colores, pues el banco, al tener todas sus piezas, aísla el color como un posible descriptor de la cantidad para que el niño se concentre en la cantidad y en el agrupamiento que supone cada una de las piezas. Aquí se privilegian las unidades de distinto orden como característica importante del sistema de numeración decimal. Este material se complementa con las tarjetas de números largos.

Fuente: Montessori (2020).

Finalmente, en el método de la pedagogía científica se presenta el material específico para las cuatro operaciones, compuesto por tres tableros con sus fichas, así:

Tablero de la suma y la resta: “Este tablero tiene por objeto hacer ver, claramente, el paso a través del 10 [suma con agrupamiento]” (Montessori, 2020, p. 38). Las primeras regletas (las azules), que se colocan como primer sumando, no están divididas con el fin de presentar la adición como agregación de una cantidad a otra —y no como una sucesión de unos.

Al respecto, Montessori menciona:

Fuente: Montessori (2020)

En cambio, en las escuelas usuales, para enseñar con facilidad el cálculo, se presentan al niño objetos para contar como habas, piedrecitas, etc., tomando por ejemplo, el caso que yo he citado (8+2), toma un grupo de ocho piedrecitas y añade dos piedrecitas más. Pero así, la natural impresión en su inteligencia no es que reúne 8 con 2, sino que suma 1+1+1+1+1+1+1+1 con 1+1. Este resultado no es tan claro, porque el niño tiene que hacer un gran esfuerzo de inteligencia, para adquirir la idea de un grupo de ocho objetos como una sola cosa, un solo conjunto correspondiente al número 8. (Montessori, 1994, p. 163)

De la misma manera, este tablero también tiene el objetivo de mostrar la sustracción como reversibilidad. Para ello, se usa la regleta que no tiene números, tan larga como el sustraendo, y se coloca sobre la regleta que representa el minuendo.

Juego de estampillas: permite trabajar el valor posicional de cantidades como grupos de 10 en cada posición. De esa manera, el niño también puede trabajar la noción de agrupamiento en la suma al completar, por ejemplo, 10 unidades sueltas, las cuales puede cambiar por una unidad del siguiente orden, es decir, de las decenas.

Fuente: archivo fotográfico de la autora.

Tablero para multiplicación: su objetivo es acercar al niño a la multiplicación como suma reiterada, dado que se repite el factor indicado por el contador rojo que se coloca en la parte superior del sombrero tantas veces como indica la tarjeta que se inserta al lado izquierdo del tablero. De la misma manera, se acerca al modelo cardinal de la multiplicación, al distribuir las cuentas (pequeñas esferas rojas) en un esquema rectangular, de tal manera que se reconocen los dos factores en la representación (Castro et al., 1995).

Fuente: Montessori (2020).

Primer tablero para la división: tiene el propósito de presentar la idea intuitiva de esta operación como reparto. El niño distribuye la cantidad, representada en el dividendo, en peones, que representan el divisor. En la tabla con huecos se distribuyen las cuentas que le corresponde a cada uno.

Fuente: Montessori (2020).

Como se puede ver hasta aquí, el material Montessori es una potente herramienta para el desarrollo del pensamiento matemático desde lo concreto, ofrece posibilidades únicas para pasar de lo concreto a lo abstracto y permite al niño, bajo la guía del adulto preparado, construir las representaciones de los objetos matemáticos de manera robusta.

A manera de cierre

Si bien, como se ha pretendido mostrar, el material tiene una potencia significativa para el desarrollo del pensamiento matemático, no se debe olvidar la necesidad de un adulto preparado que maneje el material a la perfección, esto es, que conozca las relaciones matemáticas de fondo que reposan en cada uno de ellos y que sea un observador activo que guie al niño. Por ello, no ha de impedirle el descubrimiento por sí mismo ni caer en la explicación técnica.

Es claro que el material, por sí solo, no desencadena un conocimiento significativo. Así, se puede decir que el material demanda un adulto preparado y que el niño requiere de un material bien elaborado y de un guía que le ayude a fortalecer sus razonamientos.

También es importante reconocer que el material debe ayudar a elevar la mente, es decir, a construir abstracciones de los objetos matemáticos que en él se entrañan. En ese sentido, no es suficiente con que el niño interactúe de manera pasiva con los objetos concretos; es indispensable que conjeture, argumente, generalice y razone a partir de esa interacción.

Son muchas las investigaciones que han demostrado las bondades del material Montessori en el aula de matemáticas (Calva et al., 2018; Murillo et al., 2016; Burbano-Pantoja et al., 2022). Este hecho invita a que se continúe con su presentación en las aulas de matemáticas de la básica primaria, pues claramente el material muestra otras entradas a los objetos matemáticos desde lo concreto y no desde lo abstracto —como lo suele hacer la escuela tradicional—.

En relación con lo anterior, es clave que en la formación de profesores de matemáticas se incluya el manejo de este material, pues su estudio, comprensión y obvia manipulación enriquecen las cualidades de ese adulto preparado que es vital en el aula. En este sentido, el material Montessori puede complementar los estudios en didáctica que hacen parte de la formación de los educadores matemáticos.